Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠B＝∠D．若AB＝3cm，BC＝5cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP为等腰三角形？

备用图1

备用图2 备用图3

Answer 1

【答案】当点P运动3、2.5、、10秒时，△APE是等腰三角形

【解析】

利用AAS先证明△ABC≌△CDA，可得AD=BC，AB=CD；利用勾股定理先求得AC的长，再根据点P在BC上，点P在CD上，点P在AD上三种情况，结合等腰三角形的判定和勾股定理进行计算即可．

设点P运动的时间为t ，

在△ABC和△CDB中，

∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠D，AC=CA，

∴△ABC≌△CDB（AAS），

∴AD=BC，AB=CD，

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC===4．

设经过ts时，△ABP为等腰三角形．

当P在BC上时，

①BA=BP=3，即t=3时，△ABP为等腰三角形；

②BP=AP=BC=，即t=时，△ABP为等腰三角形；

③AB=AP时，如图：

过A作AE⊥BC，垂足为E，AE=，

在Rt△ABE中，BE===．

∴BP=2BE=，

即t=时，△ABP为等腰三角形；

当P在CD上不能得出等腰三角形；

当P在AD上时，只能AB=AP=3，

∴BC+CD+DP=10，即t=10时，△ABP为等腰三角形．

答：从运动开始经过2.5s或3s或s或10s时，△ABP为等腰三角形．