题目内容
（2003•西城区模拟）某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1），每件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图2）．（说明：图1，图2中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本．）
请你根据图象提供的信息回答：
（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价-成本）是多少元？
（2）求图2中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）？若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？
【答案】分析：（1）从图易知3月份每件商品售价6元，成本1元，易求利润；
（2）根据图象特征设解析式为顶点式易求解析式；
（3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润．
解答：解：（1）每件商品在3月份出售时的利润为5元；（1分）
（2）∵抛物线的顶点坐标为（6，4）
∴设抛物线的解析式为Q=a（t-6）2+4
∵抛物线过（3，1）点
∴1=a（3-6）2+4
解得：a=-
∴Q=-
（t-6）2+4=-
t2+4t-8，其中t=3、4、5、6、7；（3分）
（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b
∵线段过（3，6）、（6，8）两点
∴3k+b=6 6k+b=8
解得：k=
，b=4
∴M=
t+4，其中t=3、4、5、6、7（4分）
所以每件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为
W=M-Q=（
t+4）-（-
t2+4t-8）=
t2-
t+12（5分）
∴W=
（t-5）2+
，其中t=3、4、5、6、7
∴当t=5时，W的最小值为
元（6分）
∴30000件商品一个月内售完，至少获利30000×
=110000元．
答：30000件商品一个月内售完，至少获利110000元．（7分）
点评：此题难度在第3个问题：表示利润．运用二次函数的性质求最值常用配方法或公式法．
（2）根据图象特征设解析式为顶点式易求解析式；
（3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润．
解答：解：（1）每件商品在3月份出售时的利润为5元；（1分）
（2）∵抛物线的顶点坐标为（6，4）
∴设抛物线的解析式为Q=a（t-6）2+4
∵抛物线过（3，1）点
∴1=a（3-6）2+4
解得：a=-
∴Q=-（t-6）2+4=-t2+4t-8，其中t=3、4、5、6、7；（3分）（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b
∵线段过（3，6）、（6，8）两点
∴3k+b=6 6k+b=8
解得：k=
，b=4∴M=
t+4，其中t=3、4、5、6、7（4分）所以每件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为
W=M-Q=（
t+4）-（-t2+4t-8）=t2-t+12（5分）∴W=
（t-5）2+，其中t=3、4、5、6、7∴当t=5时，W的最小值为
元（6分）∴30000件商品一个月内售完，至少获利30000×
=110000元．答：30000件商品一个月内售完，至少获利110000元．（7分）
点评：此题难度在第3个问题：表示利润．运用二次函数的性质求最值常用配方法或公式法．
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图象的一个交点为A（2，4），那么k= ，m= ．
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