题目内容
【题目】（引例）
如图1，点A、B、D在同一条直线上，在直线同侧作两个等腰直角三角形△ABC和△BDE，BA＝BC，BE＝BD，连接AE、CD．则AE与CD的关系是 ．
（模型建立）
如图2，在△ABC和△BDE中，BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝α，连接AE、CD相交于点H．求证：①AE＝CD；②∠AHC＝α．
（拓展应用）
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BDC＝90°，BD＝CD，∠BAD＝45°．若AB＝3，AD＝4，求AC2的值．
【答案】（引例）AE＝CD，AE⊥CD（模型建立）证明见解析（拓展应用）41
【解析】
（引例）根据题意可以证明△ABE≌△CBD，进而得出∠AEB＝∠CDB，AE＝CD，据此即可得解；
（模型建立）如图2中，设AE交BC于点O．证明△ABE≌△CBD（SAS），推出∠EAB＝∠DCB，可得结论．
（拓展应用）如图3中，作DE⊥DA，截取DE＝DA，连接AE，BE．则∠ADE＝90°，∠DAE＝45°，证明△EDB≌△ADC（SAS），推出EB＝AC，求出BE2即可解决问题．
解：（引例）结论：AE＝CD，AE⊥CD．
理由：如图1中，延长AE交CD于F．
∵在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB，
∵∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠CDB+∠EAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴AE⊥CD．
故答案为AE＝CD，AE⊥CD．
（模型建立）如图2中，设AE交BC于点O．
∵∠ABC＝∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵AB＝CB，EB＝DB，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠EAB＝∠DCB，
∵∠OAB+∠AOB+∠ABO＝180°，∠OCH+∠COH+∠OHC＝180°，∠AOB＝∠COH，
∴∠OHC＝∠OBA，即∠AHC＝α．
（拓展应用）如图3中，作DE⊥DA，截取DE＝DA，连接AE，BE．则∠ADE＝90°，∠DAE＝45°，
∵∠ADE＝∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠EDB，
∵DE＝DA，DB＝DC，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∴EB＝AC，
∵∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠BAD＝90°，
在Rt△EAB中，AE2+AB2＝BE2，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，
∵AD＝4，AB＝3，
∴AE2＝32，BE2＝41，
∴AC2＝BE2＝41．
53随堂测系列答案【题目】在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分 组 | 频数 | 频率 |
第一组（0≤x＜15） | 3 | 0.15 |
第二组（15≤x＜30） | 6 | a |
第三组（30≤x＜45） | 7 | 0.35 |
第四组（45≤x＜60） | b | 0.20 |
（1）频数分布表中a=_____，b=_____，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
