Question

21、已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC于点F，交BA的延长线于点E．求证：
（1）BD=CD；
（2）DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC，然后利用等腰三角形底边上的高是底边上的中线可以证明BD=CD．
（2）连接OD，利用等边对等角和等量代换得到∠C=∠ODB，根据同位角相等，两直线平行，得到OD∥AC，又DF⊥AC，所以OD⊥
DF，根据切线的判断定理可以得到DE是⊙O的切线．

解答：证明：（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD．

（2）连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DE是⊙O的切线．

点评：本题考查的是切线的判定，（1）利用圆周角的性质得到AD⊥BC，然后用等腰三角形的性质证明．（2）根据题意证明∠ODE=
90°，利用切线的判断定理证明DE是⊙O的切线．