Question

如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

Answer 1

（1）（2）当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为

解：（1）由，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0）。
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（－4，0）。
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3）。
将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数，可得
，解得：。
∴该二次函数解析式为：。
（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5－t，
∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO。∴，即。
解得：，即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC。

②∵，且，
∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小。
当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5－t，
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，
由△AQH∽CAO可得：，解得：。
∴。
∴当t=时，S_△APQ达到最大值，
此时。
∴当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为。
（1）根据一次函数解析式求出点A．点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，从而得出二次函数表达式．
（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，从而确定点P的位置。
②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，从而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置。