题目内容

(2013•连云港)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
问题情境:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证:S四边形ABCD=S△ABF(S表示面积)

问题迁移:如图2:在已知锐角∠AOB内有一个定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.

实际应用:如图3,若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情,防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,试求△MON的面积.(结果精确到0.1km2)(参考数据:sin66°≈0.91,tan66°≈2.25,
3
≈1.73)
拓展延伸:如图4,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B、C、P的坐标分别为(6,0)(6,3)(
9
2
9
2
)、(4、2),过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值.
分析:问题情境:根据可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论;
问题迁移:根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,过点M作MG∥OB交EF于G.由全等三角形的性质可以得出结论;
实际运用:如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1,再根据条件由三角函数值就可以求出结论;
拓展延伸:分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N,延长OC、AB交于点D,由条件可以得出AD=6,就可以求出△OAD的面积,再根据问题迁移的结论就可以求出最大值;
当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,延长CB交x轴于T,由B、C的坐标可得直线BC的解析式,就可以求出T的坐标,从而求出△OCT的面积,再由问题迁移的结论可以求出最大值,通过比较久可以求出结论.
解答:解:问题情境:∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.
∵点E为DC边的中点,
∴DE=CE.
∵在△ADE和△FCE中,
∠DAE=∠F
∠D=∠FCE
DE=CE

∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴S△ADE=S△FCE
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE
即S四边形ABCD=S△ABF

问题迁移:出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,如图2,
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PF<PE,过点M作MG∥OB交EF于G,
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON
∵S四边形MOFG<S△EOF
∴S△MON<S△EOF
∴当点P是MN的中点时S△MON最小;

实际运用:如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1
在Rt△OPP1中,
∵∠POB=30°,
∴PP1=
1
2
OP=2,OP1=2
3

由问题迁移的结论知道,当PM=PN时,△MON的面积最小,
∴MM1=2PP1=4,M1P1=P1N.
在Rt△OMM1中,
tan∠AOB=
MM1
OM1

2.25=
4
OM1

∴OM1=
16
9

∴M1P1=P1N=2
3
-
16
9

∴ON=OP1+P1N=2
3
+2
3
-
16
9
=4
3
-
16
9

∴S△MON=
1
2
ON•MM1=
1
2
(4
3
-
16
9
)×4=8
3
-
32
9
≈10.3km2

拓展延伸:①如图4,当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N,延长OC、AB交于点D,
∵C(
9
2
9
2
),
∴∠AOC=45°,
∴AO=AD.
∴A(6,0),
∴OA=6,
∴AD=6.
∴S△AOD=
1
2
×6×6=18,
由问题迁移的结论可知,当PN=PM时,△MND的面积最小,
∴四边形ANMO的面积最大.
作PP1⊥OA,MM1⊥OA,垂足分别为P1,M1
∴M1P1=P1A=2,
∴OM1=M1M=2,
∴MN∥OA,
∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANPP1=
1
2
×2×2+2×4=10
②如图5,当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,延长CB交x轴于T,
∵C(
9
2
9
2
)、B(6,3),设直线BC的解析式为y=kx+b,由题意,得
9
2
=
9
2
k+b
3=6k+b

解得:
k=-1
b=9

∴y=-x+9,
当y=0时,x=9,
∴T(9,0).
∴S△OCT=
1
2
×
9
2
×
9=
81
4

由问题迁移的结论可知,当PM=PN时,△MNT的面积最小,
∴四边形CMNO的面积最大.
∴NP1=M1P1,MM1=2PP1=4,
∴4=-x+9,
∴x=5,
∴M(5,4),
∴OM1=5.
∵P(4,2),
∴OP1=4,
∴P1M1=NP1=1,
∴ON=3,
∴NT=6.
∴S△MNT=
1
2
×4×6=12,
∴S四边形OCMN=
81
4
-12=
33
4
<10.
∴综上所述:截得四边形面积的最大值为10.
点评:本题考查了由特殊到一般的数学思想的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,待定系数法求一次函数的解析式的运用,四边形的面积公式的运用,三角形的面积公式的运用,分类讨论思想的运用,解答时建立数学模型解答是关键.
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