Question

如图，已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．
（1）试说明：∠AEQ=90°；
（2）猜想EF与图中哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根据SAS证△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；
（2）根据等边三角形性质求出∠ABE=∠AEB=60°，根据∠ABC=90°=∠AEQ求出∠BEF=∠EBF=30°，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵△ABE和△APQ是等边三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ，
在△BAP和△EAQ中

AB=AE ∠BAP=∠EAQ AP=AQ

∴△BAP≌△EAQ（SAS），
∴∠AEQ=∠ABC=90°；

（2）解：EF=BF，
理由是：∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=∠AEB=60°，
∵∠ABC=90°=∠AEQ，
∴∠BEF=180°-90°-60°=30°，∠EBF=90°-60°=30°，
∴∠EBF=∠BEF，
∴EF=BF．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用．