Question

定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四点．根据上述定义，

（1）当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是

2

，
（2）当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为

5

（3）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）理解新定义，按照新定义的要求求出距离；
（2）按照新定义的要求，得出AB=

AN2+BN2

求出即可．
（3）如图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长．

解答：解：（1）当m=2，n=2时，
如图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2；
故答案为：2；

（2）当m=5，n=2时，
B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
如图2，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=

AN2+BN2

=

12+22

=

5

．
故答案为：

5

；

（3）如图3所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为：2≤m≤6：
当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，
ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
故d=

22-(4-m)2

=

4-16+8m-m2

=

-m2+8m-12

（2≤m＜4）．
故d=

-m2+8m-12 (2≤m＜4) 2                   (4≤m≤6)

．

点评：本题考查了圆的相关性质、点的坐标、勾股定理等重要知识点，根据新定义得出线段之间距离是解决本题的关键．