Question

【题目】如图所示，正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，给出下列结论：

①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4 ，其中正确的结论个数有（）

A. 2个B. 4个C. 3个D. 5个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据四边形ABCD为正方形，以及折叠的性质，可以直接得到∠ADG的角度，以及AE=FE，在△BEF中，EF＜BE，可以得到2AE＜AB，结合三角函数的定义对②作出判断；

在△AGD和△OGD中高相等，底不同，可以直接判断其大小，而四边形AEFG是菱形的判定需证得AE=EF=GF=AG；

要计算OG和BE的关系，我们需利用到中间量EF，即四边形AEFG的边长，可以转化出BE和OG的关系；

当已知△OGF的面积时，根据菱形的性质，可以求得OG的长，进而求出BE的长度，而AE的长度与GF相同，GF可由勾股定理得出，进而求出AB的长度，正方形ABCD的面积也出来了.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°.

由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确；

∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜AB，

∴＞2.故②错误；

∵∠AOB=90°，

∴AG=FG＞OG.

∵△AGD与△OGD同高，

∴S△AGD＞S△OGD.故③错误；

∵∠EFD=∠AOF=90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG=∠AGE.

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF.

∵AE=EF，

∴AE=GF.

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四边形AEFG是菱形，故④正确；

∵四边形AEFG是菱形，

∴∠OGF=∠OAB=45°，

∴EF=GF=OG，

∴BE=EF=×OG=2OG.故⑤正确；

∵四边形AEFG是菱形，

∴AB∥GF，AB=GF.

∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，

∴△OGF是等腰直角三角形.

∵S△OGF=1，

∴ OG=1，

解得OG=，

∴BE=2OG=2，

GF=，

∴AE=GF=2，

∴AB=BE+AE=2+2，

∴S四边形ABCD=AB =(2 +2) =12+8 .故⑥错误.

∴其中正确结论的序号是①④⑤，共3个.

故选C.