Question

已知：如图，正三角形ABC中，P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC 的中点，M为RC上任意一点，△PMS为正三角形．求证：RM=QS．

Answer 1

分析：连接PR、PQ，根据P、Q、R为中点，根据三角形中位线定理可得PQ=PR，利用60°证明∠QPS=∠RPN，再根据△PMS为正三角形可得PS=PM，然后利用边角边定理证明△PRM与△PQS全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明．

解答：证明：连接PR、PQ，∵P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC 的中点，
∴PQ=

1

2

BC，PR=

1

2

AC，
∴PQ=PR，
∵∠APQ=∠BPR=60°，
∴∠RPQ=180°-2×60°=60°，
又∵∠QPS=∠MPS-∠MPQ=60°-∠MPQ，
∠RPM=∠RPQ-∠MPQ=60°-∠MPQ，
∴∠QPS=∠RPM，
在△PRM与△PQS中，

PQ=PR ∠QPS=∠RPM PS=PM

，
∴△PRM≌△PQS（SAS）．
∴RM=QS．

点评：本题主要考查了等边三角形的三条边都相等，每一个角都是60°的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形证明线段相等是常用的方法，需要熟练掌握．