Question

【题目】如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，以AB为斜边在△ABC内部作Rt△ABD，连接CD，若∠ADC=135°，S△ABD=9，则线段AD的长度为_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

作辅助线，构建三角形AEB，由旋转的性质可得△AED和是等腰直角三角形△BED是等腰直角三角形，设AD=AE=x，则ED=BE=x，BD=x×=2x，根据S△ABD=9，可求得x的值，即AD的长．

将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AEB，连接ED，

∴∠EAD=90°，AE=AD，∠AEB=∠ADC=135°，

∴△AED是等腰直角三角形，

∴∠AED=∠ADE=45°，

∴∠BED=135°-45°=90°，

∵∠ADB=90°，

∴∠BDE=45°，

∴△BED是等腰直角三角形，

设AD=AE=x，则ED=BE=x，BD=x×=2x，

∵S△ABD=9，

∴ADBD=9，

x2x=9，

x2=9，

x1=3，x2=-3，

∴AD=3，

故答案为：3．