Question

【题目】如图，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．

（1）求AO与BO的长；

（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.

①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；

②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ ，试求AA’的长．

Answer 1

【答案】（1）BO=2m；AO=2m．（2）①（）m．②（2-2）m．

【解析】

试题分析：（1）直角三角形中已知斜边和一个角，那么两条直角边就容易求得了．

（2）①可先设出AC，BD的长，然后表示出OC，OD的长，根据滑动前后梯子长不变的特点在直角三角形WMC中运用勾股定理求出未知数的值，然后求出AC，BD的长．

②可根据直角三角形斜边中线定理，和已知的∠ABO的度数，来求出∠B′A′O的度数，然后求出OA′的长，从而求出AA′的长．

试题解析：（1）BO=AB×cos60°=4×=2（m）

AO=AB×sin60°=4×=2（m）

答：BO=2m；AO=2m．

（2）①设AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，OC=2-2x，OD=2+3x，CD=4m．

根据勾股定理有OC2+OD2=CD2．

∴（2-2x）2+（2+3x）2=42．

∴13x2+（12-8）x=0．

∵x≠0，

∴13x+12-8=0，

∴x=．

∴AC=2x=（）m．

答：梯子顶端A沿NO下滑了（）m．

②∵P点和P′点分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点．

∴PA=PO，P′A′=P′O．

∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．

∴∠P′A′O-∠PAO=∠A′OP′-∠AOP．

∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．

又∵∠PAO=30°．

∴∠P′A′O=45°．

∴A′O=A′B′×cos45°=4×=2（m）．

∴AA′=AO-A′O=（2-2）m．