题目内容

【题目】如图,经过原点的抛物线y=﹣x2﹣2mx(m1)与x轴的另一个交点为A.过点P(﹣1,m)作直线PDx轴于点D,交抛物线于点B,BCx轴交抛物线于点C.

(1)当m=2时.

①求线段BC的长及直线AB所对应的函数关系式;

②若动点Q在直线AB上方的抛物线上运动,求点Q在何处时,QAB的面积最大?

③若点F在坐标轴上,且PF=PC,请直接写出符合条件的点F在坐标;

(2)当m1时,连接CA、CP,问m为何值时,CACP?

【答案】(1)直线AB所对应的函数关系式为y=x+4;

当a=-时,QAB的面积最大,此时Q的坐标为(-);

符合条件的点F坐标为F1(﹣2,0),F2(0,0),F3(0,4);

(2)m=

析】

试题分析:(1)①将m=2代入y=﹣x2﹣2mx,得出y=﹣x2﹣4x,求出A(﹣4,0),B(﹣1,3),由B、C两点关于抛物线y=﹣x2﹣4x的对称轴x=﹣2对称,得出BC=2,运用待定系数法求出直线AB所对应的函数关系式;

②过点Q作QEy轴,交AB于点E,设Q(a,﹣a2﹣4a),则E(a,a+4),QE=(﹣a2﹣4a)﹣(a+4)=﹣a2﹣5a﹣4,由S△QAB=QEAD求出S△QAB=﹣(a+2+,根据二次函数的性质即可求解;

③分两种情况进行讨论:若点F在x轴上,设F(x,0).根据PF=PC列出方程,解方程得到F1(﹣2,0),F2(0,0);若点F在y轴上,设F(0,y),根据PF=PC列出方程,解方程得到F3(0,4),F4(0,0)与F2(0,0)重合;

(2)过点C作CHx轴于点H.先求出PB=m﹣1,BC=2(m﹣1),CH=2m﹣1,AH=1,再证明ACH∽△PCB,根据相似三角形对应边成比例得出,即,解方程可求出m的值.

试题解析:(1)①当m=2时,y=﹣x2﹣4x,

令y=0,得﹣x2﹣4x=0,

解得x1=0,x2=﹣4,

则A(﹣4,0).

当x=﹣1时,y=3,

则B(﹣1,3).

抛物线y=﹣x2﹣4x的对称轴为直线x=﹣2,

B、C两点关于对称轴x=﹣2对称,

C(﹣3,3),BC=2.

设直线AB所对应的函数关系式为y=kx+b.

A(﹣4,0)、B(﹣1,3)在直线AB上,

,解得

直线AB所对应的函数关系式为y=x+4;

②过点Q作QEy轴,交AB于点E(如图1).

由题意可设Q(a,﹣a2﹣4a),则E(a,a+4),

QE=(﹣a2﹣4a)﹣(a+4)=﹣a2﹣5a﹣4.

S△QAB=QEAD=×(﹣a2﹣5a﹣4)×3=﹣(a+2+

当a=-时,QAB的面积最,此时Q的坐标为(-);

③分两种情况:

若点F在x轴上,设F(x,0).

PF=PC,P(﹣1,2),C(﹣3,3),

(x+1)2+(2﹣0)2=(﹣3+1)2+(3﹣2)2

整理,得x2+2x=0,

解得x1=﹣2,x2=0,

F1(﹣2,0),F2(0,0);

若点F在y轴上,设F(0,y).

PF=PC,P(﹣1,2),C(﹣3,3),

(0+1)2+(y﹣2)2=(﹣3+1)2+(3﹣2)2

整理,得y2﹣4y=0,

解得y1=4,y2=0,

F3(0,4),F4(0,0)与F2(0,0)重合;

综上所述,符合条件的点F坐标为F1(﹣2,0),F2(0,0),F3(0,4);

(2)过点C作CHx轴于点H(如图2).P(﹣1,m),B(﹣1,2m﹣1),

PB=m﹣1.抛物线y=﹣x2﹣2mx的对称轴为直线x=﹣m,其中m1,

B、C两点关于对称轴x=﹣m对称,BC=2(m﹣1),

C(1﹣2m,2m﹣1),H(1﹣2m,0),CH=2m﹣1,A(﹣2m,0),AH=1.

由已知,得ACP=BCH=90°,∴∠ACH=PCB.又∵∠AHC=PBC=90°,

∴△ACH∽△PCB,,即m=

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