题目内容
【题目】如图,经过原点的抛物线y=﹣x2﹣2mx(m>1)与x轴的另一个交点为A.过点P(﹣1,m)作直线PD⊥x轴于点D,交抛物线于点B,BC∥x轴交抛物线于点C.
(1)当m=2时.
①求线段BC的长及直线AB所对应的函数关系式;
②若动点Q在直线AB上方的抛物线上运动,求点Q在何处时,△QAB的面积最大?
③若点F在坐标轴上,且PF=PC,请直接写出符合条件的点F在坐标;
(2)当m>1时,连接CA、CP,问m为何值时,CA⊥CP?
【答案】(1)①直线AB所对应的函数关系式为y=x+4;
②当a=-时,△QAB的面积最大,此时Q的坐标为(-,);
③符合条件的点F坐标为F1(﹣2,0),F2(0,0),F3(0,4);
(2)m=.
【解析】
试题分析:(1)①将m=2代入y=﹣x2﹣2mx,得出y=﹣x2﹣4x,求出A(﹣4,0),B(﹣1,3),由B、C两点关于抛物线y=﹣x2﹣4x的对称轴x=﹣2对称,得出BC=2,运用待定系数法求出直线AB所对应的函数关系式;
②过点Q作QE∥y轴,交AB于点E,设Q(a,﹣a2﹣4a),则E(a,a+4),QE=(﹣a2﹣4a)﹣(a+4)=﹣a2﹣5a﹣4,由S△QAB=QEAD求出S△QAB=﹣(a+)2+,根据二次函数的性质即可求解;
③分两种情况进行讨论:若点F在x轴上,设F(x,0).根据PF=PC列出方程,解方程得到F1(﹣2,0),F2(0,0);若点F在y轴上,设F(0,y),根据PF=PC列出方程,解方程得到F3(0,4),F4(0,0)与F2(0,0)重合;
(2)过点C作CH⊥x轴于点H.先求出PB=m﹣1,BC=2(m﹣1),CH=2m﹣1,AH=1,再证明△ACH∽△PCB,根据相似三角形对应边成比例得出,即,解方程可求出m的值.
试题解析:(1)①当m=2时,y=﹣x2﹣4x,
令y=0,得﹣x2﹣4x=0,
解得x1=0,x2=﹣4,
则A(﹣4,0).
当x=﹣1时,y=3,
则B(﹣1,3).
∵抛物线y=﹣x2﹣4x的对称轴为直线x=﹣2,
∴B、C两点关于对称轴x=﹣2对称,
∴C(﹣3,3),BC=2.
设直线AB所对应的函数关系式为y=kx+b.
∵A(﹣4,0)、B(﹣1,3)在直线AB上,
∴,解得
∴直线AB所对应的函数关系式为y=x+4;
②过点Q作QE∥y轴,交AB于点E(如图1).
由题意可设Q(a,﹣a2﹣4a),则E(a,a+4),
∴QE=(﹣a2﹣4a)﹣(a+4)=﹣a2﹣5a﹣4.
∴S△QAB=QEAD=×(﹣a2﹣5a﹣4)×3=﹣(a+)2+,
∴当a=-时,△QAB的面积最,此时Q的坐标为(-,);
③分两种情况:
若点F在x轴上,设F(x,0).
∵PF=PC,P(﹣1,2),C(﹣3,3),
∴(x+1)2+(2﹣0)2=(﹣3+1)2+(3﹣2)2,
整理,得x2+2x=0,
解得x1=﹣2,x2=0,
∴F1(﹣2,0),F2(0,0);
若点F在y轴上,设F(0,y).
∵PF=PC,P(﹣1,2),C(﹣3,3),
∴(0+1)2+(y﹣2)2=(﹣3+1)2+(3﹣2)2,
整理,得y2﹣4y=0,
解得y1=4,y2=0,
∴F3(0,4),F4(0,0)与F2(0,0)重合;
综上所述,符合条件的点F坐标为F1(﹣2,0),F2(0,0),F3(0,4);
(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图2).∵P(﹣1,m),B(﹣1,2m﹣1),
∴PB=m﹣1.∵抛物线y=﹣x2﹣2mx的对称轴为直线x=﹣m,其中m>1,
∴B、C两点关于对称轴x=﹣m对称,∴BC=2(m﹣1),
∴C(1﹣2m,2m﹣1),H(1﹣2m,0),∴CH=2m﹣1,∵A(﹣2m,0),∴AH=1.
由已知,得∠ACP=∠BCH=90°,∴∠ACH=∠PCB.又∵∠AHC=∠PBC=90°,
∴△ACH∽△PCB,∴,即,∴m=.