题目内容

问题(1):填空:∠BIC=
问题(2):若点D是两条外角平分线的交点;填空:∠BDC=
问题(3):若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点,试探索:∠BEC与∠BAC的数量关系,并说明理由.
问题(4):在问题(3)的条件下,当∠ACB等于多少度时,CE∥AB.
分析:(1)已知点I是两角B、C平分线的交点,故∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-
(∠ABC+∠ACB)=180°-
(180°-∠A)=90+
∠BAC,由此可求∠BIC;
(2)因为BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线,故∠DBI=90°,同理∠DCI=90°,在四边形CDBI中,可证∠BDC=180°-∠BIC=90-
∠BAC,由此可求∠BDC;
(3)在△BDE中,∠DBI=90°,故∠BEC=90°-∠BDC=
∠BAC;
(4)当CE∥AB时,∠BEC=
∠ABC,由(3)可知,∠ABC=∠BAC,∠ACB=
(180-∠BAC).
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(2)因为BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线,故∠DBI=90°,同理∠DCI=90°,在四边形CDBI中,可证∠BDC=180°-∠BIC=90-
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(3)在△BDE中,∠DBI=90°,故∠BEC=90°-∠BDC=
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(4)当CE∥AB时,∠BEC=
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解答:解:(1)∵点I是两角B、C平分线的交点,
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)
=180°-
(∠ABC+∠ACB)
=180°-
(180°-∠A)
=90+
∠BAC=115°;
(2)∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线,
∴∠DBI=90°,同理∠DCI=90°,
在四边形CDBI中,∠BDC=180°-∠BIC=90°-
∠BAC=65°;
(3)∠BEC=
∠BAC.
证明:在△BDE中,∠DBI=90°,
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-(90°-
∠BAC)
=
∠BAC;
(4)当∠ACB等于80°时,CE∥AB.理由如下:
∵CE∥AB,
∴∠ACE=∠A=50°,
∵CE是∠ACG的平分线,
∴∠ACG=2∠ACE=100°,
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=100°-50°=50°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°.
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)
=180°-
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=180°-
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=90+
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(2)∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线,
∴∠DBI=90°,同理∠DCI=90°,
在四边形CDBI中,∠BDC=180°-∠BIC=90°-
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(3)∠BEC=
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证明:在△BDE中,∠DBI=90°,
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-(90°-
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(4)当∠ACB等于80°时,CE∥AB.理由如下:
∵CE∥AB,
∴∠ACE=∠A=50°,
∵CE是∠ACG的平分线,
∴∠ACG=2∠ACE=100°,
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=100°-50°=50°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°.
点评:本题考查了三角形的内角、外角平分线的夹角大小与原三角形内角的关系,要充分运用三角形内角和定理,角平分线性质转换.

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