Question

好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，点I是两角B、C平分线的交点．
问题（1）：填空：∠BIC=

 

°．
问题（2）：若点D是两条外角平分线的交点；填空：∠BDC=

 

°．
问题（3）：若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．
问题（4）：在问题（3）的条件下，当∠ACB等于多少度时，CE∥AB．

Answer 1

分析：（1）已知点I是两角B、C平分线的交点，故∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90+

1

2

∠BAC，由此可求∠BIC；
（2）因为BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，故∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四边形CDBI中，可证∠BDC=180°-∠BIC=90-

1

2

∠BAC，由此可求∠BDC；
（3）在△BDE中，∠DBI=90°，故∠BEC=90°-∠BDC=

1

2

∠BAC；
（4）当CE∥AB时，∠BEC=

1

2

∠ABC，由（3）可知，∠ABC=∠BAC，∠ACB=

1

2

（180-∠BAC）．

解答：解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90+

1

2

∠BAC=115°；

（2）∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，
∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四边形CDBI中，∠BDC=180°-∠BIC=90°-

1

2

∠BAC=65°；

（3）∠BEC=

1

2

∠BAC．
证明：在△BDE中，∠DBI=90°，
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-（90°-

1

2

∠BAC）
=

1

2

∠BAC；

（4）当∠ACB等于80°时，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A=50°，
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ACG=2∠ACE=100°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=100°-50°=50°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°．

点评：本题考查了三角形的内角、外角平分线的夹角大小与原三角形内角的关系，要充分运用三角形内角和定理，角平分线性质转换．