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精英家教网好学的小红在学完三角形的角平分线后,遇到下列4个问题,请你帮她解决.如图,在△ABC中,∠BAC=50°,点I是两角B、C平分线的交点.
问题(1):填空:∠BIC=
 
°.
问题(2):若点D是两条外角平分线的交点;填空:∠BDC=
 
°.
问题(3):若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点,试探索:∠BEC与∠BAC的数量关系,并说明理由.
问题(4):在问题(3)的条件下,当∠ACB等于多少度时,CE∥AB.
分析:(1)已知点I是两角B、C平分线的交点,故∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-
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2
(∠ABC+∠ACB)=180°-
1
2
(180°-∠A)=90+
1
2
∠BAC,由此可求∠BIC;
(2)因为BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线,故∠DBI=90°,同理∠DCI=90°,在四边形CDBI中,可证∠BDC=180°-∠BIC=90-
1
2
∠BAC,由此可求∠BDC;
(3)在△BDE中,∠DBI=90°,故∠BEC=90°-∠BDC=
1
2
∠BAC;
(4)当CE∥AB时,∠BEC=
1
2
∠ABC,由(3)可知,∠ABC=∠BAC,∠ACB=
1
2
(180-∠BAC).
解答:解:(1)∵点I是两角B、C平分线的交点,
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)
=180°-
1
2
(∠ABC+∠ACB)
=180°-
1
2
(180°-∠A)
=90+
1
2
∠BAC=115°;

(2)∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线,
∴∠DBI=90°,同理∠DCI=90°,
在四边形CDBI中,∠BDC=180°-∠BIC=90°-
1
2
∠BAC=65°;

(3)∠BEC=
1
2
∠BAC.
证明:在△BDE中,∠DBI=90°,
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-(90°-
1
2
∠BAC)
=
1
2
∠BAC;

(4)当∠ACB等于80°时,CE∥AB.理由如下:
∵CE∥AB,
∴∠ACE=∠A=50°,
∵CE是∠ACG的平分线,
∴∠ACG=2∠ACE=100°,
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=100°-50°=50°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°.
点评:本题考查了三角形的内角、外角平分线的夹角大小与原三角形内角的关系,要充分运用三角形内角和定理,角平分线性质转换.
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