题目内容
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(1)如果一个三角形一边的中线和这边上的高相互重合,则这个三角形是等腰三角形;
(2)如果一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合,则这个三角形是等腰三角形;
(3)如果一个三角形一边的中线和这边所对的角的平分线相互重合,则这个三角形是等腰三角形.
我们运用线段垂直平分线的性质,很易证明猜想(1)的正确性.现请你帮助小明判断他的猜想(2)、(3)是否成立,若成立,请结合图形,写出已知、求证和证明过程;若不成立,请举反例说明.
分析:(2)首先根据命题写出已知,求证,然后根据题意,推出△CAD≌△BAC,即可推出AB=AC,(3)首先根据命题写出已知,求证,画出图形,然后,做出辅助线作DE⊥AC,DF⊥AB,根据条件推出Rt△CED≌Rt△BFC,即可推出∠B=∠C,根据△ABC内,等角对等边,即可推出AB=AC.
解答:解:(2)、(3)都正确.
(2)已知:在△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC,
求证:AB=AC(1分)
证明:∵AD⊥BC,AD平分∠BAC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,∠CAD=∠BAD,
∵AD=AD,
∴△CAD≌△BAC(ASA)(4分)
∴AB=AC,
(3)已知:在△ABC中,CD=BD,AD平分∠BAC,
求证:AB=AC(5分)
证明:作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E、F,(6分)
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF,
∵CD=BD,
∴Rt△CED≌Rt△BFC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201109/8/fc468069.png)
(2)已知:在△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC,
求证:AB=AC(1分)
证明:∵AD⊥BC,AD平分∠BAC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,∠CAD=∠BAD,
∵AD=AD,
∴△CAD≌△BAC(ASA)(4分)
∴AB=AC,
(3)已知:在△ABC中,CD=BD,AD平分∠BAC,
求证:AB=AC(5分)
证明:作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E、F,(6分)
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF,
∵CD=BD,
∴Rt△CED≌Rt△BFC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
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点评:本题主要考查等腰三角形的性质、根据命题写已知、求证,全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的等性质定理,关键在于根据命题写出已知、求证、画出图形.
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