Question

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2

3

），∠BCO=60°，OH⊥BC于点H，动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，设点P运动的时间为t秒．
（1）OH=

2

3

；
（2）用含t（秒）的代数式表示点P和Q的坐标：P（

0

，

t

），Q（

3-

3

2

t

，

3

-

1

2

t

）；
（3）若△OPQ的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系，并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）过点B作BG⊥OC于G，就可以得出OG=2，BG=2

3

，在Rt△BGC中由三角函数值就可以得出CG的值，从而得出OC，在Rt△OHC中由勾股定理就可以得出OH的值；
（2）过点P作PN⊥OC，就可以得出PN=

1

2

OP，ON=

3

PN，就可以表示出P、Q的坐标；
（3）由三角形的面积公式可以得出S_△OPQ=

1

2

OQ•ON，将（2）求出的结论代入就可以求出结论．

解答：解：（1）过点B作BG⊥OC于G，
∵B坐标为（2，2

3

），
∴OG=2，BG=2

3

．
∵∠BCO=60°，
∴tan∠BCG=

BG

CG

=

3

，
∴

2 3

CG

=

3

，
∴CG=2．
∴OC=4．
∵OH⊥BC，
∴∠OHC=90°，
∴∠COH=30°
∵cos30°=

OH

OC

=

3

2

，
∴

OH

4

=

3

2

，
∴OH=2

3

．

（2）过点P作PN⊥OC，
∴∠PNO=90°，
∴PN=

1

2

OP，ON=

3

2

OP．
∵OQ=t，PH=t，
∴OP=2

3

-t，
∴PN=

3

-

1

2

t，ON=3-

3

2

t，
∴Q（0，t），P（3-

3

2

t，

3

-

1

2

t）

（3）∵S_△OPQ=

1

2

OQ•ON，
∴S=

1

2

t•（3-

3

2

t），
S=-

3

4

t²+

3

2

t，
S=-

3

4

（t²-2

3

），
S=-

3

4

（t-

3

）²+

3 3

4

，
∵a=-

3

4

＜0，
∴抛物线的开口向下，S有最大值，
∴t=

3

时，S_最大=

3 3

4

．
∴S与t之间的函数关系为：S=-

3

4

t²+

3

2

t（0＜t＜2

3

），
t=

3

时，S_最大=

3 3

4

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，锐角三角函数值的运用，点的坐标的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时运用直角三角形的性质根据三角函数值求解是关键，灵活运用抛物线的顶点式是难点．