已知:抛物线y＝ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A． ⑴求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标． ⑵点D是抛物线与y轴的交点.点C是抛物线上的一点.且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9.求此抛物线的解析式． ⑶点E是第二象限内到x轴.y轴的距离的比为5∶2的点.如果点E在⑵中的抛物线上.且它与点A在此抛物线对称轴的同侧.问:在抛物线的对称轴上是否存在点P.使△APE的周长最小?若存在.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：抛物线y＝ax²＋4ax＋t与x轴的一个交点为A(－1，0)．

⑴求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标．

⑵点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式．

⑶点E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在⑵中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　⑴依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．∵抛物线与x轴的一个交点为A(－1，0)，∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(－3，0)．

　　⑵∵抛物线y＝ax²＋4ax＋t与x轴的一个交点为A(－1，0)，

　　．∴t＝3a，，，∴点D的坐标为(0，3a)．又梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线上，∴点C的坐标为(－4，3a)．∵梯形ABCD的面积为9，又AB＝2，CD＝4，，，∴a＝±1，∴所求抛物线的解析式为或．

　　⑶设点E的坐标为(x₀，y₀)，依题意，x₀＜0，y₀＞0，且，．

　　①设点E在抛物线上，则．解方程组得，，

　　∵点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴点E的坐标为．设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．

　　∵AE长为定值，∴要使△APE的周长最小，只需PA＋PE最小．∵点A关于对称轴x＝－2的对称点是B(－3，0)，∴由几何知识可知，点P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．设过点E、B的直线的解析式为y＝mx＋n，则，解得，∴直线BE的解析式为，把x＝－2代入上式，得，∴点P的坐标为．

　　②设点E在抛物线上，则．解方程组消去y₀，得，∵△＜0，∴此方程无实数根．综上所述，在抛物线的对称轴上存在点，使△APE的周长最小．

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