Question

已知：如图，⊙O的直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动（与A、C两点不重合），连接BC、BA，过点C作CD⊥AB于D、设CB的长为x，CD的长为y．
（1）求y关于x的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求y的值；
（2）在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时y的取值范围；
（3）在点B运动的过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE为直径的圆与⊙O能内切吗？若不能，说明理由；若能，求出BE的长．

Answer 1

解：（1）如图1，连接OA、OC、．过圆心O作OE⊥AC于点E．
∵直径为10，弦AC=8，
∴OC=5，CE=8，∠AOE=∠COE．
又∵∠ABC=∠AOC=∠COE，CD⊥AB，CB的长为x，
CD的长为y，
∴y=x，当以CB为直径的圆与AC相切时，点B与点M重合，
此时，x=6，y=4.8；

（2）以DC为直径的圆与⊙O的位置关系是相交或内切，
①当CB=CA=8时，两圆内切，y=×8=6.4；
②当CB≠8时，两圆相交，0＜y≤8，且y≠6.4．

（3）以BE为直径的圆与⊙O可以内切，
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴BE=5-3=2或BE=5+3=8．
分析：（1）∵直径为10，弦AC=8，CD⊥AB，CB的长为x，CD的长为y，∴y=x，当以CB为直径的圆与AC相切时，点B与点M重合，即可求解；
（2）①当CB=CA=8时，两圆内切，②当CB≠8时，两圆相交；讨论后即可得出答案；
（3）假设以BE为直径的圆与⊙O可以内切，看能否求出BE即可；
点评：本题考查了一次函数与圆与圆的位置关系，难度较大，关键是分类讨论两圆的位置关系．