Question

如图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6．
（1）利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为________；
（2）求二次函数的解析式；
（3）该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（4）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，
∴A（1，0）、B（7，0）；

（2）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）²+k，
∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，），
∴y=a（x-4）²+k=16a+k①，
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，
∴A（1，0），B（7，0），
∴0=9a+k②，
由①②解得a=，k=-，
∴二次函数的解析式为：y=（x-4）²-或y=x²-x+．

（3）解法一：∵点A、B关于直线x=4对称，
∴PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD≥DB，
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，
∴DB与对称轴的交点即为所求点P，
设直线x=4与x轴交于点M，
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，
∴△BPM∽△BDO，
∴，
∴PM==，
∴点P的坐标为（4，）．

解法二：利用待定系数法求一次函数解析式，即直线DB为y=-+．

（4）由（1）知点C（4，-），
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cos∠ACM=，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，
由△ACB∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=∠ACB=120°，则∠QBN=60°，
∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q（10，3），如果AB=AQ，由对称性知Q（-2，3）
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是（4，-），
经检验，点（10，3）与（-2，3）都在抛物线上，
综上所述，经验证：存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，
点Q的坐标为（10，3）或（-2，3）或（4，-）．
分析：（1）根据函数的对称性，又由AB=6，对称轴x=4，即可求得A，B的坐标；
（2）利用待定系数法，设二次函数的解析式为：y=a（x-h）²+k，又由抛物线过点A，B，D即可求得抛物线的解析式；
（3）由PA=PB，可知：当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，则可利用△BPM∽△BDO求得点P的坐标；
（4）首先求得点C的坐标，利用三角函数求得∠ACB的度数，分当点Q在x轴上方时与当点Q在x轴下方时求解即可，注意要检验是否所得结果符合题意．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数对称性求点的坐标，以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．