Question

已知抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1（m为常数）．
（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为Q，抛物线的顶点为P，试求经过O、P、Q三点的圆的圆心O′的坐标；
（3）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C，
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把（0，0）代入抛物线解析式，可以求得m的值，然后求得顶点坐标，判断是否在第四象限，即可判断m的值；
（2）Rt△O EO′中，利用勾股定理，即可求得a的值，得到O′E的长，从而求得点O′的坐标；
（3）①已知BC的长，即可求得OB的长，得到矩形的周长；
②设点A（x，y），则OB=x，BE=

3

2

-x，则AB可以利用x表示出来，则矩形的周长可以表示成关于x的函数，根据函数的性质，即可求解．

解答：解：（1）将（0，0）代入得m²-1=0，
∴m=±1．
当m=1时，y=x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

，
∴顶点是（-

1

2

，-

1

4

），不合题意，舍去；
当m=-1时，y=x²-3x=（x-

3

2

）²-

9

4

，
∴顶点是（

3

2

，-

9

4

）在第四象限，
∴所求函数关系式为y=x²-3x；

（2）求得点Q（3，0），而顶点P（

3

2

，-

9

4

），
由题意可知经过O、P、Q三点的圆的圆心O′在抛物线的对称轴上，
连接O O′，则O O′=P O′，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，O O′=a，
在Rt△O EO′中，OE=

3

2

，O′E=

9

4

-a，
由勾股定理得（

3

2

）²+（

9

4

-a）²=a²，
解得a=

13

8

，
∴O′E=

9

4

-

13

8

=

5

8

，
∴点O′（

3

2

，-

5

8

）；

（3）①当BC=1时，则BE=

1

2

，
∴OB=

3

2

-

1

2

=1，
当x=1时，y=-2，
∴AB=2，
∴矩形ABCD的周长=6；
②设点A（x，y），则OB=x，BE=

3

2

-x，
∴BC=2BE=3-2x，
∵y=x²-3x，
∴AB=3x-x²，
∴矩形ABCD的周长=2（3x-x²+3-2x）=-2（x-

1

2

）²+6

1

2

，
∴当x=

1

2

时，矩形ABCD的周长有最大值为6

1

2

，此时A（

1

2

，-

5

4

）．

点评：本题是二次函数与矩形相结合的题目，主要考查了勾股定理，二次函数的最值，难度较大．