Question

已知：k是正整数，直线l₁：y=kx+k-1与直线l₂：y=（k+1）x+k及x轴围成的三角形的面积为S_k．
（1）求证：无论k取何值，直线l₁与l₂的交点均为定点；
（2）求S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意列出方程组，解出x，y的值，即可证出无论k取何值，直线l₁与l₂的交点均为定点．
（2）先求出y=kx+k-1与x轴的交点和y=（k+1）x+k与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出S_k，求出S₁=

1

2

×（1-

1

2

），S₂=

1

2

×（

1

2

-

1

3

），以此类推S₂₀₀₈=

1

2

×（

1

2008

-

1

2009

），相加后得到

1

2

×（1-

1

2009

），求出即可．

解答：（1）证明：

y=kx+k-1 y=(k+1)x+k

解得：

x=-1 y=-1

．
∴无论k取何值，直线l₁与l₂的交点均为定点（-1，-1）．

（2）解：k≠1时l₁与l_{2^{图象的示意图．}}
∵y=kx+k-1与x轴的交点为A（

1-k

k

，0），
y=（k+1）x+k与x轴的交点为B（-

k

k+1

，0），
∴S_K=S_△ABC=

1

2

×AB×

.

y c

.

=

1

2

×

.

1-k k + k k+1

.

×1=

1

2k(k+1)

k=1时结论同样成立．
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈的
=

1

2

[

1

1×2

+

1

2×3

+…

1

2008×2009

]
=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2008

-

1

2009

）]
=

1

2

×（1-

1

2009

）
=

1

2

×

2008

2009

=

1004

2009

．

点评：此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．