Question

某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）如果要求日均获利为1350元，则销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，日均获利最多？最多是多少元？

Answer 1

分析：（1）设日均销售p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为：p=kx+b（k≠0），把（7，500），（12，250）代入，得到关于k，b的方程组，解方程组即可；
（2）设销售单价应定为x元，根据题意得，（x-5）•p-250=1350，由（1）得到p=-50x+850，于是有（x-5）•（-50x+850）-250=1350，然后整理，解方程得到x₁=9，x₂=13，满足7≤x≤12的x的值为所求；
（3）设销售单价为x元，日均获利W元，根据题意得，W=（x-5）（-50x+850）-250，利用配方法得到顶点式：W=-50（x-11）²+1550，根据二次函数的最值问题即可得到当x=11时，W有最大值，最大值为1550．

解答：解：（1）设日均销售p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为：p=kx+b（k≠0），
把（7，500），（12，250）代入上式，得

7k+b=500 12k+b=250

，
解得k=-50，b=850，
∴日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=-50x+850，7≤x≤12；

（2）设销售单价应定为x元，根据题意得，（x-5）•p-250=1350，
而p=-50x+850，
∴（x-5）•（-50x+850）-250=1350，
∴x²-22x+117=0，
解得x₁=9，x₂=13，
∵7≤x≤12，
∴x=9，
所以要日均获利为1350元，则销售单价应定为9元；

（3）设销售单价为x元，日均获利W元，根据题意得，
W=（x-5）（-50x+850）-250，
=-50x²+1100x-4500，
=-50（x-11）²+1550，
∵a=-50＜0，且7＜11＜12，
∴当x=11时，W有最大值，最大值为1550．

点评：本题考查了利用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题：先根据题意列出二次函数关系式，然后配成顶点式，利用二次函数的性质求出实际问题的最值．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式．