题目内容

已知△ABC中，AC=BC=3 $数学公式$ ，∠C=90°，AB上有一动点P，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）设CF=x，用含x的代数式把Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积表示出来；
（2）是否存在这样的P点，使Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积都小于4．

解：（1）△AEP的面积为 $\text{[math]}$ ，
△PFB的面积为 $\text{[math]}$ ；
矩形ECFP的面积为x（ $\text{[math]}$ ）．

（2）设y₁= $\text{[math]}$ x²，y₂=x（ $\text{[math]}$ ），y₃= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）²这三个二次函数的图象如图所示，令 $\text{[math]}$ ，
得x₁=0，x₂=2 $\text{[math]}$ ；
当x₁=0时，y₁=y₂=0；当x₂=2 $\text{[math]}$ 时，y₁=y₂=4；
∴y₁和y₂的交点坐标为O（0，0），A（2 $\text{[math]}$ ，4）．

由图知，在 $\text{[math]}$ 中，y₁≥4，
由x（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）²得x₃= $\text{[math]}$ ，x₄=3 $\text{[math]}$ ；
当x₃= $\text{[math]}$ 时，y₂=y₃=4，
当x₄=3 $\text{[math]}$ 时，y₂=y₃=0，
∴y₂和y₃的交点坐标为B（ $\text{[math]}$ ），C（ $\text{[math]}$ ），
由图知，在 $\text{[math]}$ 时，y₃≥4，
在 $\text{[math]}$ 时，y₂≥4，
∴在0＜x＜3 $\text{[math]}$ 中，y₁，y₂，y₃中最大面积都不小于4，
因此不存在这样的点P，使得三个图形的面积都小于4．
分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，那么∠A=∠B=45°，由此可得△AEP、△BPF也是等腰Rt△，因此此题中相等的线段有AE=PE=CF=x，BF=PF=CE=3 $\text{[math]}$ -x，已知了这些线段的长，即可根据各自的面积公式进行解答．
（2）在直角坐标系中作出三个二次函数的图象，结合图象，令两函数关系式相等，求出x、y的值，再依据x的取值范围，求y的范围，进而判断面积是否小于4．
点评：本题二次函数的综合题，要求会求两图象的交点，结合图象解决问题．