Question

已知：如图，AF为△ABC的角平分线，以BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，连接CE交AB于H，AH=AC．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AC=6，AB=10，求EC的长．

Answer 1

分析：（1）连接BE，由AH=AC，得∠AHC=∠ACH，又∠AHC=∠EHB，所以，∠EHB=∠ACH，又由点E为弧BD的中点，所以，∠ECB=∠DBE，所以，∠ECB+∠ACH=90°，即可证明；
（2）由题意得，AC=6，AB=10，所以，BC=8，易证△BEH∽△CEB，可得，

BE

EC

=

BH

CB

=

4

8

=

1

2

，在Rt△EBC中，根据勾股定理可求得结论；

解答：（1）证明：连接BE
∵BC为直径∴∠E=90°，
∴∠EBH+∠EHB=90°，
∵AH=AC，AF为△ABC的角平分线，
∴∠AHC=∠ACH，
∵∠AHC=∠EHB，
∴∠EHB=∠ACH，
∵点E为弧BD的中点，
∴∠ECB=∠DBE，
∴∠ECB+∠ACH=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵AC是⊙O的切线，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，AB=10，
∴BC=8，
∵AH=AC，
∴BH=4，
又∵∠ECB=∠DBE，∠E为公共角，
∴△BEH∽△CEB，
∴

BE

EC

=

BH

CB

=

4

8

=

1

2

，
∴在Rt△EBC中，可得EC2+(

1

2

EC)2=BC2，
∴EC=

16 5

5

．

点评：本题考查了勾股定理、相似三角形及切线的判定与性质的综合应用，应熟练掌握其判定、性质定理，考查了学生综合应用知识的能力．