Question

若方程x²-2|x|+3=k有四个互不相等的实数根，则k的取值范围是________．

Answer 1

2＜k＜3
分析：解方程x²-2|x|+3=k，根据绝对值的意义，去掉绝对值可化为两个方程，原方程有四个不同的解，则得到的两个一元二次方程都有两个不同的解，根据△=b²-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
解答：整理方程：x²-2|x|+3-k=0，△=b²-4ac=4-4（3-k）=-8+4k＞0，∴k＞2
当x≥0时，方程可化为：x²-2x+3-k=0，
∵△=b²-4ac=4-4（3-k）=-8+4k＞0，
∴k＞2
方程的两个实根是正数则3-k＞0
∴k＜3．
则2＜k＜3
当x＜0时，方程可化为：x²+2x+3-k=0，
同理可得：2＜k＜3
∴综上所求，使方程有四个不相等的根，2＜k＜3．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．