题目内容

【题目】如图,顶点为A( ,1)的抛物线经过坐标原点O,与x轴交于点B.

(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
(2)过B作OA的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证:△OCD≌△OAB;
(3)在x轴上找一点P,使得△PCD的周长最小,求出P点的坐标.

【答案】
(1)

∵抛物线顶点为A( ,1),

设抛物线解析式为y=a(x﹣ 2+1,

将原点坐标(0,0)在抛物线上,

∴0=a( 2+1

∴a=﹣

∴抛物线的表达式为:y=﹣ x2+ x.


(2)

令y=0,得 0=﹣ x2+ x,

∴x=0(舍),或x=2

∴B点坐标为:(2 ,0),

设直线OA的表达式为y=kx,

∵A( ,1)在直线OA上,

k=1,

∴k=

∴直线OA对应的一次函数的表达式为y= x.

∵BD∥AO,

设直线BD对应的一次函数的表达式为y= x+b,

∵B(2 ,0)在直线BD上,

∴0= ×2 +b,

∴b=﹣2,

∴直线BD的表达式为y= x﹣2.

得交点D的坐标为(﹣ ,3),

令x=0得,y=﹣2,

∴C点的坐标为(0,﹣2),

由勾股定理,得:OA=2=OC,AB=2=CD,OB=2 =OD.

在△OAB与△OCD中,

∴△OAB≌△OCD.


(3)

点C关于x轴的对称点C'的坐标为(0,2),

∴C'D与x轴的交点即为点P,它使得△PCD的周长最小.

过点D作DQ⊥y,垂足为Q,

∴PO∥DQ.

∴△C'PO∽△C'DQ.

∴PO=

∴点P的坐标为(﹣ ,0).


【解析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式,(2)先求出直线OA对应的一次函数的表达式为y= x.再求出直线BD的表达式为y= x﹣2.最后求出交点坐标C,D即可;(3)先判断出C'D与x轴的交点即为点P,它使得△PCD的周长最小.作辅助线判断出△C'PO∽△C'DQ即可.此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和全等,解本题的关键是确定函数解析式.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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