题目内容
如图,二次函数y=x2+bx+c经过点(-1,0)和点(0,-3).
(1)求二次函数的表达式;
(2)如果一次函数y=4x+m的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点,求m的值和该公共点的坐标;
(3)将二次函数图象y轴左侧部分沿y轴翻折,翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象,该图象记为G,如果直线y=4x+n与图象G有3个公共点,求n的值.
(1)y=x2-2x-3;(2)-12,(3,0);(3)-3或-4.
【解析】
试题分析:(1)把(-1,0)和点(0,-3)代入函数表达式,利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;
(2)联立两函数解析式消掉未知数y,得到关于x的一元二次方程,再根据方程有两个相等的实数根,△=0列式求解得到m的值,再求出x的值,然后求出y的值,从而得到公共点的坐标;
(3)根据轴对称性写出翻折部分的二次函数解析式,再根据直线与图象有3个公共点,①联立直线与翻折后的抛物线的解析式,消掉y得到关于x的一元二次方程,有两个相等的实数根,②直线经过抛物线与y轴的交点.
试题解析:(1)把(-1,0)和(0,-3)代入到y=x2+bx+c中,得,
解得,
所以y=x2-2x-3;
(2)由题意得:,
消掉y整理得,x2-6x-(3+m)=0,
∴△=(-6)2+4(3+m)=0,
解得m=-12,
此时,x1=x2=,
y=4×3-12=0,
∴m=-12,公共点为(3,0);
(3)原抛物线解析式为:y=x2-2x-3,
原抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线:y=x2+2x-3(x≥0),
由,
得x2-2x-3-n=0,
△=(-2)2+4(3+n)=0,
解得n=-4,
当直线y=4x+n经过点(0,-3)时,直线与图象G有3个公共点,
把(0,-3)代入到y=4x+n中,得n=-3,
综上所述,n=-3或-4.
考点:二次函数综合题.