题目内容
【题目】在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数
图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在P点右侧的反比例函数图像是否存在上点M，使△MBP的面积等于菱形ABCP面积．若存在，试求出满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．
【答案】（1）四边形为正方形，理由见解析；（2）A（0，
），B（1，0），C（3，0）．M（
）
【解析】
试题分析：（1）根据AP、PK是圆的半径可得出AP=PK，再由
轴，
轴，
可得出结论；
（2）①连接PB，设点P（x，
），过点P作
与G，则半径
，有菱形的性质得
，可知
等边三角形，在
中，
，PB=PA=x，
，利用sin
，列方程求x即可．
②先根据菱形的性质得出P点的坐标，再由待定系数法求出直线BP的解析式，设出M点的坐标，根据
的面积等于菱形ABCP的面积得出m的值，进而可得出点M的坐标．
试题解析：
（1）四边形OKPA是正方形．
∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴
，
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴四边形OKPA是矩形．
∵AP=KP，
∴四边形OKPA是正方形．
（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为
，
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半径）．
∴
为等边三角形．
在
中，
，
，
．
，即
．
解得：
（负值舍去）．
∴
，
．
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3
∴可求得：A（0，
），B（1，0） C（3，0）．
②利用B（1，0），P（2， ）易得BP: y= x-
过M作ME∥x轴，交线段BP于点E
设M（m，
），则E（
+1 ， ）
ME=m--1
由MBP的面积=菱形ABCP的面积得：
（m--1）=
化简得
，解得
（舍）
所以M（
，
）
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