题目内容
【题目】阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线
经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）
；（3）抛物线向下平移
或
距离，其顶点落在OP上．
【解析】
试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；
（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；
（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；
（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为
，∴
，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴
，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），∴抛物线解析式为．
（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：
根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN=
=
，∴抛物线需要向下平移的距离=
=
．
如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时：
∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′（2，3），设P（4，c）（c＞0），由折叠有，PD=PA，∴
，∴c=
，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=
，∴N（2，
），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=
，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
