Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A，C两点的坐标分别为A（0，m），C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+ =0．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动的时间为ts．

（1）求A，C两点的坐标；

（2）连接PA，若△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；

（3）当点P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，4），C（3，0）；（2）（﹣0.9，0）或（5，0）；（ ﹣5，0）；（3）存在，当t=1秒，点Q的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；当t=秒，点Q的坐标为（0，3）或（0，﹣3）

【解析】

（1）根据非负数的性质分别求出n、m的值，即可求得点A、C两点的坐标；（2）分BA=BP、AB=AP、PA=PB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算求解即可；（3）分△QOP≌△AOC和△POQ≌△AOC两种情况求解即可．

（1）∵（n﹣3）2+=0，

∴n﹣3=0，3m﹣12=0，

解得，n=3，m=4，

∴点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（3，0）；

（2）由勾股定理得，AB==，

当BA=BP时，点P的坐标为（﹣5，0）；

当AB=AP时，点P的坐标（5，0）；

当PA=PB时，设PA=x，则OP=5﹣x，

在Rt△AOP中，AP2=OP2+OA2，即x2=（5﹣x）2+42，

解得，x=4.1，

则OP=0.9，

∴点P的坐标（﹣0.9，0）；

综上所述，△PAB为等腰三角形，点P的坐标为（﹣0.9，0）或（5，0）；（ ﹣5，0）；

（3）当△QOP≌△AOC时，OP=OC=3，OQ=OA=4，

∴BP=2，

则t=1秒，点Q的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；

当△POQ≌△AOC时，OP=OA=4，OQ=OC=3，

则t=秒，点Q的坐标为（0，3）或（0，﹣3）．