题目内容
在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法．
小明：在△ABC中，延长BC到D，
∴∠ACD＝∠A＋∠B(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．
又∵∠ACD＋∠ACB＝180°(平角定义)，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等式的性质)．
小虎：在△ABC中，作CD⊥AB(如图)，
∵CD⊥AB(已知)，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°(直角定义)．
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°(直角三角形两锐角互余)．
∴∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD＝180°(等式的性质)．
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．
请你判断上述两名同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法，与同伴交流．
在研究“三角形的三个内角和等于180°”的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法：
小明：在△ABC中，延长BC到点D(如图)，
所以∠ACD＝∠A＋∠B．(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
又因为∠ACD＋∠ACB＝180°，(平角定义)
所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．(等量代换)
小虎：在△ABC中，过点A作AD⊥BC(如图)，
所以∠ADC＝∠ADB＝90°．(直角定义)
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠B＋∠BAD＝90°．(直角三角形的两锐角互余)
所以∠DAC＋∠C＋∠B＋∠BAD＝180°，
即∠BAC＋∠B＋∠C＝180°．
请你对上述两名同学的证法给出评价，并写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法．
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．
(1)当α＝60°时，求CE的长；
(2)当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
分析 (1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解；
(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝GF，再根据AB、BC的长度可得AG＝AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，从而得解；
②设BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．
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如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．
的正弦值列式计算即可得解；
B、BC的长度可得AG＝AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，从而得解；