Question

如图，一块长方形场地ABCD的长AB为50

2

m，宽AD为50m，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，连接BE，DF．现计划在四边形DEBF区域内种植一种花草，已知该种花草的价格是180元/m²，若把四边形DEBF区域种满这种花草，约需多少元？（结果保留3位有效数字）

Answer 1

分析：此题关键是求出四边形EDFB的面积，而面积的求出可由原矩形面积减去外围四个三角形的面积，外围四个三角形面积都相等，只要求出一个即可．

解答：解：设B、D到AB的垂线段长为h．
∵AD=BC，AD∥BC，且DE⊥AC，BF⊥AC，
∴△AED≌△BCF．
同理△AEB≌△DCF．
∴AE=CF，S_△AED=S_△BCF=S_△AEB=S_△DCF．
又在△ACB中，tan∠ACB=

AB

BC

=

50 2

50

=

2

，且∠DAC=∠ACB，
∴在△AED中，tan∠DAE=

DE

AE

=

2

，∴DE=

2

AE．
又AE²+DE²=AD²，∴AE²=

2500

3

，即AE=

50 3

3

，DE=

50 6

3

m．
∴S_△ADE=

1

2

×AE×DE=

1250 2

3

m²．
∴S_△AED+S_△BCF+S_△AEB+S_△DCF=

5000 2

3

m²．
∴S_{四边形DEBF}=S_矩形ABCD-

5000 2

3

=2500

2

-

5000 2

3

=

2500 2

3

m²．
又花草的价格是每平方米180元，所以共需

2500 2

3

×180≈212132.0344≈2.12×10⁵元．

点评：此题主要考查平行四边形的基本性质，以及勾股定理的应用，难易适中．