Question

已知，如图1，过点E（0，-1）作平行于x轴的直线l，抛物线y=x²上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．
（1）求点A、B、F的坐标；
（2）求证：CF⊥DF；
（3）点P是抛物线y=x²对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：
（1）方法一：如图1，当x=-1时，y=；当x=4时，y=4
∴A（-1，）
B（4，4）
设直线AB的解析式为y=kx+b
则
解得
∴直线AB的解析式为y=x+1
当x=0时，y=1∴F（0，1）
方法二：求A、B两点坐标同方法一，如图2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分别为G、H，交y轴于点N，则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形，设FO=x
∵△BGF∽△BHA
∴
∴
解得x=1
∴F（0，1）

（2）证明：方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，
根据勾股定理得：CF²=CE²+EF²=1²+2²=5，
∴CF=
在Rt△DEF中，DE=4，EF=2
∴DF²=DE²+EF²=4²+2²=20
∴DF=2
由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）
∴CD=5
∴CD²=5²=25
∴CF²+DF²=CD²
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF
方法二：由（1）知AF=，AC=
∴AF=AC
同理：BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC∥EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO
同理：∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF

（3）存在．
解：如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M
又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴∴
设P（x，x²）（x＞0），
则PM=x²，OM=x
①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，
∴
解得x=2∴P₁（2，1）
②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时，=2
∴=2
解得x=8
∴P₂（8，16）
综上，存在点P₁（2，1）、P₂（8，16）使得△OPQ与△CDF相似．
分析：（1）有两种方法，方法一是传统的点的待定系数法，方法二，通过作辅助线，构造△BGF∽△BHA由比例关系求出F点坐标．
（2）也有两种方法，方法一，在Rt△CEF中算出△DEF边长利用勾股定理证明CF⊥DF；方法二利用几何关系求出∠CFD=90°；
（3）求存在性问题，先假设存在，看是否找到符合条件的点P的坐标，此题分两种情况；（1）Rt△QPO∽Rt△CFD；（2）Rt△OPQ∽Rt△CFD，根据比例求出P点坐标．
点评：此题是一道综合性较强的题，前两问方法多，有普通的方法和新颖的方法，作合适的辅助线很重要，最后一问是探究性问题，发散思维．