Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E、F分别是AC、BC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动；同时，点Q从点E出发，沿EB方向匀速运动，两者速度均为1cm/s；当其中一点停止运动时，另外一点也停止运动．连接PQ、PF，设运动时间为ts（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？

（2）如图①，设四边形PFBQ的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；

（3）当t为何值时，四边形PFBQ的面积与△ABC的面积之比为2：5？

（4）如图②，连接FQ，是否存在某一时刻，使得PF与QF互相垂直？若存在，求出此时t的值；若不存，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当t=时，△EPQ为等腰三角形；（2）y=；（3）1；（4）t=时，PF与QF互相垂直.

【解析】

（1）根据勾股定理求出AB=10，由DE是中位线可知DE=5，△EPQ为等腰三角形只需PE=EQ，即t=5-t,解方程即可.（2）过P作PH⊥BC于H，连接FE，由sin∠PEH=，可知PH=，即△EQP的高，根据△CDE可求出DE边的高，即△PEF和△EFB的高，根据y=S△PEF+S△EFB﹣S△EQP，即可得答案；（3）先求出△ABC的面积，根据（2）所得关系式及已知面积比，列方程即可得答案.（4）如图③过P作PG⊥AB于G，过Q作QH⊥AB于H，过D作DM⊥AB于M，由勾股定理可知AM的长，△BHQ中，利用∠B的三角函数值可得BH、QH的长，由PF⊥FQ，可证明△PGF∽△FHQ，根据对应边的关系列出方程即可求得t的值.

（1）∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，

∴AB=10cm，

由题意得：DP=EQ=t，

∵D为AC的中点，E为BC的中点，

∴DE=AB=5cm，

当EP=EQ时，5﹣t=t，

t=，

即当t=时，△EPQ为等腰三角形；

（2）如图②，过P作PH⊥BC于H，连接FE，

sin∠PEH= ，

∴ ，

∴PH= ，

设△DCE中，DE边上的高为h，

×3×4=×5h，h=，

∴y=S△PEF+S△EFB﹣S△EQP，

=×PE+×FB﹣EQPH，

=（5﹣t）+×5﹣ ，

=﹣t+12；

（3）∵，

∴5S四边形PFBQ=2S△ABC，

∴5（﹣t+12）=2××6×8，

t2﹣9t+8=0，

t1=1，t2=8（舍）；

（4）如图③，过P作PG⊥AB于G，过Q作QH⊥AB于H，过D作DM⊥AB于M，

由（3）知：PG=DM=，

Rt△ADM中，∵AD=3，

∴AM=，

∴FG=5﹣﹣t=﹣t，

Rt△QHB中，BQ=4﹣t，

sin∠B= ，

∴QH=，

∴BH=，

∴FH=5﹣BH=，

∵PF⊥FQ，

易得△PGF∽△FHQ，

∴，

∴PGQH=FHGF，

∴，

4t2﹣11t=0，

t1=0（舍），t2=．

∴当t=时，PF与QF互相垂直．