Question

已知一次函数y=-

3

4

x+m中，当x=0时，y=6．
（1）请直接写出m的值；
（2）设该一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B若点Q的坐标为（0，4），QE⊥AB于E．
①试求QE的长；
②以Q为圆心，QE为半径作⊙Q，试问在x轴的负半轴上是否存在点P，使得⊙P与⊙Q、直线AB都相切？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将x=0代入解析式即可求得m的值；
（2）①连接AQ，将问题转化为三角形的面积问题解答；
②根据切线的性质，构造出直角三角形BEQ和直角三角形APF，然后利用勾股定理解答．

解答：解：（1）6；（3分）

（2）①如图1，∵OB=6，OQ=4，∴QB=2．
在y=-

6

4

x+6中，令y=0，得x=8，即OA=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理，
得：AB=

62+82

=10．                                               （2分）
连接AQ，∵S△AQB=

1

2

AB•QE=

1

2

BQ•OA，
∴10•QE=2×8，解得QE=1.6．                                            （2分）
②若⊙P与⊙Q内切且与直线AB相切．
如图2，由①延长线段EQ交x轴的负半轴于点P，以P为圆心，
PE为半径作⊙P，则⊙P既与⊙Q内切，又与直线AB相切．
在Rt△BQE中，由勾股定理得：EB=

22-1.62

=1.2．                     （1分）
∵∠BEQ=∠POQ=90°，又∠BQE=∠PQO，
∴△QEB∽△QOP．                                                         （1分）
∴

EQ

OQ

=

EB

OP

，

1.2

OP

，解得：OP=3．
∴点P的坐标为（-3，0）．                                                  （1分）
若⊙P与⊙Q外切且与直线AB相切，设切点分别为C、F．
连接PF、PQ，则点C在PQ上．

如图3，设P（x，0）（x＜0），则AP=8-x
∵∠AFP=∠AOB=90°，又∠FAP=∠OAB，
∴△AFP∽△AOB．
∴

PF

BO

=

AP

AB

，即

PF

6

=

8-x

10

，PF=

3

5

(8-x)=4.8-0.6x，（1分）
∴PC=PF=4.8-0.6x，
PQ=PC+CQ=4.8-0.6x+1.6=6.4-0.6x．
在Rt△POQ中，由勾股定理，得：PQ²=OP²=OQ²
∴（6.4-0.6x）²=x²+4²（1分）
整理得：x²+12x-39=0，
解得：x1=-6+5

3

（不含题意，舍去），x2=-6-5

3

．
综上，存在符合条件的两个点P，坐标分别为（-3，0）或（-6-5

3

，0）．        （1分）

点评：本题考查了一次函数和圆的相关知识，并具有一定的开放性，题目涉及勾股定理，函数图象与坐标系的关系以及相似三角形的性质，内容繁多，结构复杂，是一道难题．