题目内容
如图,△ABC的边BC在直线m上,AC⊥BC,且AC=BC,△DEF的边FE也在直线m上,边DF与边AC重合,且DF=EF.(1)在图(1)中,请你通过观察、思考,猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系;(不要求证明)
(2)将△DEF沿直线m向左平移到图(2)的位置时,DE交AC于点G,连接AE,BG.猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合?请证明你的猜想.
分析:(1)根据题意,BC=AC=DF=EF,且AC⊥BC,可知△ABC,△DEF为等腰直角三角形,得出结论;
(2)将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合.已知BC=AC,由(1)可知∠DEF=45°,可知△CEG为等腰直角三角形,则CG=CE,利用“SAS”证明△BCG≌△ACE,得出结论.
(2)将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合.已知BC=AC,由(1)可知∠DEF=45°,可知△CEG为等腰直角三角形,则CG=CE,利用“SAS”证明△BCG≌△ACE,得出结论.
解答:解:(1)AB=AE,AB⊥AE;
(2)将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合(或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合),
理由如下:
∵AC⊥BC,DF⊥EF,B、F、C、E共线,
∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90°,
又∵AC=BC,DF=EF,
∴∠DEF=∠D=45°,
在△CEG中,∵∠ACE=90°,
∴∠CGE+∠DEF=90°
∴∠CGE=∠DEF=45°,
∴CG=CE,
在△BCG和△ACE中,
∵
,
∴△BCG≌△ACE(SAS),
∴将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合(或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合).
(2)将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合(或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合),
理由如下:
∵AC⊥BC,DF⊥EF,B、F、C、E共线,
∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90°,
又∵AC=BC,DF=EF,
∴∠DEF=∠D=45°,
在△CEG中,∵∠ACE=90°,
∴∠CGE+∠DEF=90°
∴∠CGE=∠DEF=45°,
∴CG=CE,
在△BCG和△ACE中,
∵
|
∴△BCG≌△ACE(SAS),
∴将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合(或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合).
点评:本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质.关键是熟练运用等腰直角三角形的性质解题.
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