题目内容
如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.
(1)若∠1=70°,求∠MKN的度数;
(2)△MNK的面积能否小于
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(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你用备用图探究可能出现的情况,求最大值.
分析:(1)根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM,∠KMN的度数,根据三角形内角和即可求解;
(2)过M点作ME⊥DN,垂足为E,通过证明NK>1,由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于
;
(3)分情况一:将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合;情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC两种情况讨论求解.
(2)过M点作ME⊥DN,垂足为E,通过证明NK>1,由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于
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(3)分情况一:将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合;情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC两种情况讨论求解.
解答:解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AM∥DN.
∴∠KNM=∠1.
∵∠1=70°,
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°,
∴∠MKN=40°.
(2)不能.
过M点作ME⊥DN,垂足为E,则ME=AD=1.
∵∠KNM=∠KMN,
∴MK=NK,
又∵MK≥ME,
∴NK≥1.
∴△MNK的面积=
NK•ME≥
.
∴△MNK的面积不可能小于
.

(3)分两种情况:
情况一:将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合.
MK=MB=x,则AM=5-x.
由勾股定理得12+(5-x)2=x2,
解得x=2.6.
∴MD=ND=2.6.
S△MNK=S△MND=
=1.3.
情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC.
MK=AK=CK=x,则DK=5-x.
同理可得MK=NK=2.6.
∵MD=1,
∴S△MNK=
=1.3.
△MNK的面积最大值为1.3.
∴AM∥DN.
∴∠KNM=∠1.
∵∠1=70°,
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°,
∴∠MKN=40°.

过M点作ME⊥DN,垂足为E,则ME=AD=1.
∵∠KNM=∠KMN,
∴MK=NK,
又∵MK≥ME,
∴NK≥1.
∴△MNK的面积=
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2 |
1 |
2 |
∴△MNK的面积不可能小于
1 |
2 |

(3)分两种情况:
情况一:将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合.
MK=MB=x,则AM=5-x.
由勾股定理得12+(5-x)2=x2,
解得x=2.6.
∴MD=ND=2.6.
S△MNK=S△MND=
1×2.6 |
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情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC.

MK=AK=CK=x,则DK=5-x.
同理可得MK=NK=2.6.
∵MD=1,
∴S△MNK=
1×2.6 |
2 |
△MNK的面积最大值为1.3.
点评:本题考查了翻折变换(折叠问题),矩形的性质,勾股定理,三角形的面积计算,注意分类思想的运用,综合性较强,有一点的难度.

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