题目内容
(2013•延庆县一模)在如图所示的棱长为1的正方体中,A、B、C、D、E是正方体的顶点,M是棱CD的中点.动点P从点D出发,沿着D→A→B的路线在正方体的棱上运动,运动到点B停止运动.设点P运动的路程是x,y=PM+PE,则y关于x的函数图象大致为( )
分析:由题意,可知y关于x的函数是分段函数,分别求出0≤x≤1及1<x≤2时y关于x的函数解析式,再求出端点处及每一段的最小值即可求解.
解答:解:当0≤x≤1时,
∵PM=
=
,PE=
=
,
∴y=
+
,
当x=0时,y=
+
;当x=1时,y=
+1;
当侧面展开图中M、P、E三点共线时,y的值最小,最小值为
=
;
当1<x≤2时,
∵PM=
,PE=
=
,
∴y=
+
,
当x=2时,y=
+
;
当侧面展开图中M、P、E三点共线时,y的值最小,最小值为
=
;
∵函数图象分为两段,∴A错误;
∵
<
,即第一段的最小值<第二段的最小值,
且
+
<
+1<
+
,即x为0时的函数值<x为1时的函数值<x为2时的函数值,
∴B、D错误;
故选C.
∵PM=
DM2+DP2 |
(
|
PA2+AE2 |
(1-x)2+12 |
∴y=
x2+
|
(1-x)2+1 |
当x=0时,y=
1 |
2 |
2 |
| ||
2 |
当侧面展开图中M、P、E三点共线时,y的值最小,最小值为
(1+
|
| ||
2 |
当1<x≤2时,
∵PM=
(x-
|
PA2+AE2 |
(x-1)2+1 |
∴y=
(x-
|
(x-1)2+1 |
当x=2时,y=
| ||
2 |
2 |
当侧面展开图中M、P、E三点共线时,y的值最小,最小值为
(
|
| ||
2 |
∵函数图象分为两段,∴A错误;
∵
| ||
2 |
| ||
2 |
且
1 |
2 |
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
2 |
∴B、D错误;
故选C.
点评:本题考查了动点问题的函数图象,注意分析y随x的变化而变化的趋势,比较四个选项之间的区别.分别计算出两段函数的最小值是解题的关键.
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