题目内容

【题目】已知,如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于点P,

(1)求∠BPQ的度数.

(2)求证:BP=2PQ.

【答案】见解析

【解析】试题分析

(1)由△ABC是等边三角形可得:AB=AC,∠BAE=∠ACD=60°,结合已知AE=CD,易证△BAE≌△ACD,从而可得∠ABE=∠CAD;由三角形外角的性质易得:∠BPQ=∠BAP+∠ABE,再由∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°,可得∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAE=60°;

(2)由BQ⊥ADQ可得∠BQP=90°,结合∠BPQ=60°可得∠PBQ=30°,由直角三角形中30°的锐角所对直角边是斜边的一半可得:PQ=BP,∴BP=2PQ.

试题解析

(1)∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC,∠BAE=∠C=60°,

△ABE△CAD中,

∵AB=AC,∠BAE=∠C=60°,AE=CD,

∴△ABE≌△CAD(SAS),

∠ABE=∠CAD

∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=60°.

(2)∵BQ⊥AD,

∴∠BQP=90°,

∴∠PBQ=90°﹣∠BPQ=90°﹣60°=30°,

∴BP=2PQ.

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