题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,E,F分别为CA,CB上一点,CE=CF,M,N分别为AF,BE的中点,求证:AE=MN.
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析:取AB的中点H,连接MH、NH,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得NH=AE,NH∥AE,MH=BF,MH∥BF,再求出AE=BF,∠MHN=90°,判断出△MNG是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得NH=MN,再表示出AE即可得证.
试题解析:如图,取AB的中点H,连接MH,NH,则MH=BF,
NH=AE.
∵CE=CF,CA=CB,∴AE=BF.∴MH=NH.
∵点M,N,N分别为AF,AB,BE的中点,
∴MH∥BF,NH∥AE.
∴∠AHM=∠ABC,∠BHN=∠BAC.
∴∠MHN=180°-(∠AHM+∠BHN)=180°-(∠ABC+∠BAC)=90°.∴NH=MN.
∴AE=2NH=2×MN= MN.
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