题目内容

抛物线y=x2y=-
1
2
x2
和直线x=a(a>0)分别交于A、B两点,已知∠AOB=90°.
(1)求过原点O,把△AOB面积两等分的直线解析式;
(2)为使直线y=
2
x+b
与线段AB相交,那么b值应是怎样的范围才适合.
分析:根据两个抛物线的解析式,可表示出A、B的坐标,进而可得到OA、OB、AB的长,由于∠AOB是直角,利用勾股定理即可求出a的值,从而确定A、B两点的坐标.
(1)若过原点的直线将△OAB的面积平分,那么此直线必经过AB的中点,已知了A、B的坐标,则线段AB中点的坐标易求得,即可利用待定系数法求得该直线的解析式.
(2)分别将A、B的坐标代入已知的直线解析式中,结合两种情况下的b值,即可得到b的取值范围.
解答:解:由题意知:A(a,a2),B(a,-
1
2
a2),则:
OA2=a2+a4,OB2=a2+
1
4
a4,AB2=
9
4
a4
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,由勾股定理得:
OA2+OB2=AB2,即a2+a4+a2+
1
4
a4=
9
4
a4
解得a=
2
(负值舍去);
故A(
2
,2),B(
2
,-1);
①设AB的中点为C,则C(
2
1
2
),
若所求直线将△AOBM的面积两等分,那么直线必过点C;
设此直线的解析式为:y=kx,则有:
2
k=
1
2
,k=
2
4

故所求的直线为:y=
2
4
x;
②将点A的坐标代入直线y=
2
x+b
中,得:2+b=2,b=0;
将点B的坐标代入直线y=
2
x+b
中,得:2+b=-1,b=-3;
故b的取值范围是:-3≤b≤0.
点评:此题主要考查了函数图象上点的坐标意义、勾股定理、三角形面积的求法、函数解析式的确定等知识;能够根据已知条件求得a的值,是解决此题的关键,难度适中.
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