题目内容
已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以O为圆心、OC为半径的圆与AB相切于点D，交AC于点E．
（1）求证：DE∥OB；
（2）若⊙O的半径为2，BC=4，求AD的长．
（1）求证：DE∥OB；
（2）若⊙O的半径为2，BC=4，求AD的长．
（1）证明：∵∠ACB=90°，CO是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线，
又∵AB与⊙O相切，
∴OC=OD，且BO为∠CBA的角平分线，
∴BO⊥CD，（3分）
又∵CE是⊙O的直径，且C是⊙O上一点，
∴DE⊥CD，
∴DE∥OB；（5分）
（2）∵DE∥OB，
∴
=
，
又BD=BC=4，OE=2，
∴
=
，即AD=2AE，（7分）
又AD、AC分别是⊙O的切线和割线，
∴AD2=AE•AC，即AD2=AE•（AE+4），（9分）
∴AD2=
•（
+4），可得AD=
．
∴BC是⊙O的切线，
又∵AB与⊙O相切，
∴OC=OD，且BO为∠CBA的角平分线，
∴BO⊥CD，（3分）
又∵CE是⊙O的直径，且C是⊙O上一点，
∴DE⊥CD，
∴DE∥OB；（5分）
（2）∵DE∥OB，
∴
| AD |
| DB |
| AE |
| EO |
又BD=BC=4，OE=2，
∴
| AD |
| 4 |
| AE |
| 2 |
又AD、AC分别是⊙O的切线和割线，
∴AD2=AE•AC，即AD2=AE•（AE+4），（9分）
∴AD2=
| AD |
| 2 |
| AD |
| 2 |
| 8 |
| 3 |
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