题目内容
【题目】如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（5，3），点C（0，8），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．
【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+12，M（2，12）
（2）S△ABC=15
（3）6＜m＜9
【解析】
试题分析：（1）把点A、C的坐标代入函数解析式，用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）结合点A、B、C的坐标，三角形的面积公式进行解答；
（3）点M是沿着对称轴直线x=2向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=2代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围．
解：（1）把点A（5，3），点C（0，8）代入二次函数y=﹣x2+bx+c，得
，
解得
，
∴二次函数解析式为y=﹣x2+4x+8，配方得y=﹣（x﹣2）2+12
∴点M的坐标为（2，12）；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴是x=2．
∵A（5，3），AB∥x轴，
∴AB=6，D（0，3）
∵C（0，8），
∴CD=5，
∴△ABC的面积=
ABCD=×6×5=15，
即△ABC的面积=15；
（3）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（5，3），C（0，8）代入
，
解得
，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+8，对称轴直线x=2与△ABC两边分别交于点E、点F，
把x=2代入直线AC解析式y=﹣x+8，
解得y=6，则点E坐标为（2，6），点F坐标为（2，3）
∴3＜12﹣m＜6，解得6＜m＜9．
