题目内容

(2012•衡阳)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<
103
)秒.解答如下问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BO?
(2)设△AQP的面积为S,
①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2-x1,y2-y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.
分析:(1)如图①所示,当PQ∥BO时,利用平分线分线段成比例定理,列线段比例式
AP
AB
=
AQ
AO
,求出t的值;
(2)①求S关系式的要点是求得△AQP的高,如图②所示,过点P作过点P作PD⊥x轴于点D,构造平行线PD∥BO,由线段比例关系
AP
AB
=
PD
OB
求得PD,从而S可求出.S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出S的最大值;
②本问关键是求出点P、Q的坐标.当S取最大值时,可推出此时PD为△OAB的中位线,从而可求出点P的纵横坐标,又易求Q点坐标,从而求得点P、Q的坐标;求得P、Q的坐标之后,代入“向量PQ”坐标的定义(x2-x1,y2-y1),即可求解.
解答:解:(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8,
∴AB=
OB2+OA2
=
62+82
=10.
如图①,当PQ∥BO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=10-3t.
∵PQ∥BO,
AP
AB
=
AQ
AO
,即
10-3t
10
=
2t
8

解得t=
20
11

∴当t=
20
11
秒时,PQ∥BO.

(2)由(1)知:OA=8,OB=6,AB=10.
①如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO,
AP
AB
=
PD
OB
,即
10-3t
10
=
PD
6
,解得PD=6-
9
5
t.
S=
1
2
AQ•PD=
1
2
•2t•(6-
9
5
t)=6t-
9
5
t2=-
9
5
(t-
5
3
2+5,
∴S与t之间的函数关系式为:S=-
9
5
(t-
5
3
2+5(0<t<
10
3
),
当t=
5
3
秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位).
②如图②所示,当S取最大值时,t=
5
3

∴PD=6-
9
5
t=3,
∴PD=
1
2
BO,
又∵PD∥BO,
∴此时PD为△OAB的中位线,则OD=
1
2
OA=4,
∴P(4,3).
又∵AQ=2t=
10
3

∴OQ=OA-AQ=
14
3
,∴Q(
14
3
,0).
依题意,“向量PQ”的坐标为(
14
3
-4,0-3),即(
2
3
,-3).
∴当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(
2
3
,-3).
点评:本题是典型的动点型问题,解题过程中,综合利用了平行线分线段成比例定理(或相似三角形的判定与性质)、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点.第(2)②问中,给出了“向量PQ”的坐标的新定义,为题目增添了新意,不过同学们无须为此迷惑,求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识.
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