题目内容
【题目】如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；
（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．
（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝
，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）
【解析】
（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；
（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；
（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.
（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA＝OP＝4．
∴t＝4÷1＝4（秒），
故t的值为4．
（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，
∵点A关于x轴的对称点为A′，
∴PA＝PA'，
又AP＝PB，
∴PA＝PA'＝PB，
∴∠PAA'＝∠PA'
，∠PBA'＝∠PA'B，
又∵∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠PAA'+∠PA'A+∠PA'B+∠PBA'
＝180
90°
=90°，
∴∠AA'B＝45°，
即∠OA'B＝45°；
（3）当t＝3时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，
①如图3，若△ABP≌△MBP，
则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，
∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，
∴△AOP≌△MDP（AAS），
∴OA＝DM＝4，OP＝PD＝3，
∴M的坐标为：（6，-4）．
②如图4，若△ABP≌△MPB，则
，
过点M作M
⊥x轴于点，过点
作
⊥x轴于点
，过点作
⊥
轴于点
，
∵△APB为等腰直角三角形，则△MPB也为等腰直角三角形，
∴∠BAP＝∠MPB=45
，
∵
，
∴
∴
∴
∵⊥x轴
⊥轴
∴四边形
为矩形，
∴
，则
在
和
中
∠BAF＝45+
，∠MPE＝45+
，
∴∠BAF＝∠MPE
∵
∴
∴
∴M的坐标为：（4，7），
③如图5，若△ABP≌△MPB，则，
过点M作M⊥x轴于点
，过点作⊥x轴于点，过点作⊥轴于点，
∵△APB为等腰直角三角形，则△MPB也为等腰直角三角形，
∴∠BAP＝∠MPB=45，
∵，
∴
∴
∴
∵
⊥x轴⊥轴
∴四边形
为矩形，
∴，则
在和
中
∵⊥轴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴M的坐标为：（10，﹣1）．
综合以上可得点M的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．
