Question

如图⊙O内切于正△ABC，正△DEF内接于⊙O，则S_△DEF：S_△ABC等于（　　）

• A、1：2
• B、1：3
• C、1：4
• D、1：5

Answer 1

分析：首先连接OA，OB，OM，由∵⊙O内切于正△ABC，正△DEF内接于⊙O，可得点D在OA上，点E在OB上，△ABC∽△DEF，OM⊥AB，∠AOB=120°，然后根据直角三角形的性质，即可得OA=2OM，继而可求得则S_△DEF：S_△ABC的值．

解答：解：连接OA，OB，OM，
∵⊙O内切于正△ABC，正△DEF内接于⊙O，
∴点D在OA上，点E在OB上，
∴△ABC∽△DEF，OM⊥AB，∠AOB=120°，
∴∠AOM=

1

2

∠AOB=60°，∠AMO=90°，
∴∠OAM=30°，
∴OA=2OM，
∵OD=OM，
∴OA=2OM，
∴S_△DEF：S_△ABC=1：4．
故选C．

点评：此题考查了三角形内切圆与外接圆的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．