题目内容

【题目】有一列按一定顺序和规律排列的数:

第一个数是

第二个数是

第三个数是

对任何正整数n,第n个数与第(n+1)个数的和等于

(1)经过探究,我们发现:

设这列数的第5个数为a,那么,哪个正确?

请你直接写出正确的结论;

(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数,猜想这列数的第n个数(即用正整数n表示第n数),并且证明你的猜想满足“第n个数与第(n+1)个数的和等于”;

(3)设M表示,…,,这2016个数的和,即,求证:

【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析

【解析】

试题分析:(1)由已知规律可得;

(2)先根据已知规律写出第n、n+1个数,再根据分式的运算化简可得;

(3)将每个分式根据=,展开后再全部相加可得结论.

试题解析:(1)由题意知第5个数a==

(2)∵第n个数为,第(n+1)个数为,∴===

即第n个数与第(n+1)个数的和等于

(3)∵=1,,…

,∴,∴

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