题目内容
【题目】有一列按一定顺序和规律排列的数:
第一个数是;
第二个数是;
第三个数是;
…
对任何正整数n,第n个数与第(n+1)个数的和等于.
(1)经过探究,我们发现:,,;
设这列数的第5个数为a,那么,,,哪个正确?
请你直接写出正确的结论;
(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数,猜想这列数的第n个数(即用正整数n表示第n数),并且证明你的猜想满足“第n个数与第(n+1)个数的和等于”;
(3)设M表示,,,…,,这2016个数的和,即,求证:.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)由已知规律可得;
(2)先根据已知规律写出第n、n+1个数,再根据分式的运算化简可得;
(3)将每个分式根据<<=,展开后再全部相加可得结论.
试题解析:(1)由题意知第5个数a==;
(2)∵第n个数为,第(n+1)个数为,∴===;
即第n个数与第(n+1)个数的和等于;
(3)∵<=1,<<,<<,…
<<,<<,∴,∴.
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