Question

如下图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F。
（1）试说明四边形AECF是平行四边形；
（2）若EF与AC垂直，试说明四边形AECF是菱形；
（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形（不必证明）。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC∥AD
∴AE∥CF
∴∠OAE=∠OCF
∵点O是AC的中点
∴OA=OC在△AOE和△COF中，
∠AOE=∠COF，OA=OC，∠OAE=∠OCF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF
∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形
∴EF与AC互相平分
∵EF与AC垂直
∴四边形AECF是菱形；
（3）当EF平分AC且等于AC时，四边形AECF是矩形。