Question

19、在坐标平面上，横纵坐标都是整数的点称为整点，而顶点均为整点的多边形称为整点多边形，求证：整点凸五边形必可以找到一个四边形至少覆盖5个整点．

Answer 1

分析：由于整点坐标的奇偶性共有四类：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶），则五个顶点中必须有两个点属于同一类，同类的两点的中点也是整点，加上其余3个顶点中的两个可证结论成立．

解答：解：设整点凸五边形为ABCDE，而整点坐标的奇偶性共有四类：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶），
故五个顶点中必须有两个点属于同一类，
不妨设这两点为M、N，则线段MN的中点Z也是整点．
由于五边形五个顶点中除M、N外还有3个顶点，
∴在直线MN的同一侧至少有两个顶点X、Y，则以M、N、X、Y为顶点可作一个四边形至少覆盖5个整点M、N、X、Y、Z．

点评：本题通过坐标平面考查了整点坐标的奇偶性，注意整点坐标的奇偶性共有四类：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶）．