Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（1，m）都在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．

（1）直接写出m和k的值；

（2）如图2，将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，连接AC，BD．

①在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，求n的取值范围；

②在平移过程中，连接BC，若△BCD是直角三角形，请直接写出所有满足条件n的值．

Answer 1

【答案】（1）m＝2，k＝2；（2）①0≤n≤；②n的值为1或5

【解析】

（1）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，求出m，进而求出点B坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；

（2）①由将线段AB向右平移n个单位长度，得到A（n，4），把A（n，4）代入y＝中即可得到结论；

②根据平移的性质得到AB∥CD，当∠CBD＝90°时，△BCD是直角三角形，当∠BCD＝90°，△BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质即可得到结论．

（1）∵点A（0，4）在直线y＝﹣2x+b上，

∴﹣2×0+b＝4，

∴b＝4，

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，

将点B（1，m）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+4中，得﹣2×1+4＝m，

∴b＝2，

∴B（1，2），

将B（1，2）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝1×2＝2；

（2）①∵将线段AB向右平移n个单位长度，

∴A（n，4），

把A（n，4）代入y＝中，得，4＝，

∴n＝，

∴在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，n的取值范围为0≤n≤；

②∵将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，

∴AB∥CD，

∴∠CDB≠90°，

当∠CBD＝90°时，△BCD是直角三角形，

∴CB⊥BC，

∴C（1，4），

∴n＝1；

当∠BCD＝90°，△BCD是直角三角形，

则C（n，4），D（n+1，2），

∵BC2+CD2＝BD2，

∴（n﹣1）2+（4﹣2）2+12+（4﹣2）2＝n2，

解得：n＝5，

综上所述，若△BCD是直角三角形，n的值为1或5．